В.Н.Третьяков. Приближенные аналитические решения уравнения Дирака

Приближенные аналитические решения
уравнения Дирака для частицы с аномальным
магнитным моментом в поле плоской
электромагнитной волны

В.Н.ТРЕТЬЯКОВ

В работе [1] в рамках кватернионного формализма
получено уравнение Дирака для частицы с аномальным
магнитным моментом в поле плоской электромагнитной
волны. Для случая циркулярной поляризации решение
было найдено ранее [9]. В настоящей статье получены
приближенные решения для случая малой фазы
t = k₀x₀ – kx
при произвольной поляризации и для волн произвольной
фазы, поляризации которых близки к
циркулярной или линейной.

Будем исходить из системы, к которой приводится уравнение из [1]:

du/dt = (α cos t + iβ sin t)v,
dv/dt = (-α cos t + iβ sin t)u, (1)

или

dx/du = A(t; α, β)x,

где

| u |
x =... | |,
| v |

A = iβsint σ₁ + iαcost σ₂, где σ_k – 2х2-матрицы Паули.

В случаях, когда матрица коэффициентов в (2) имеет вид А (t; α, 0), A (t, 0, β) (линейные поляризации) или А (t; α, α), A (t, - β, β) (циркулярные поляризации), система (2), как указано в [1], разрешима. Соответствующие решения таковы: (x₀ ≡ x (0)):

x_α0 (t) = X_α0 (t) x₀ = e^{iα sint σ₂}x₀ = cos (αsint)u₀ + isin(αsint)v₀ -i sin (αsint)u₀ + cos (αsint)v₀

x_0β (t) = X_0β (t) x₀ = exp[iβ(1 – cost) σ₁]x₀ =

| cos [β(1 - cost)]u₀ + isin [β(1 - cost)]v₀ | isin [β(1 - cost)u₀ + cos [β(1 - cost)]v₀

x_αα (t) = X_αα (t) =

[(k₂exp(k₁t)] - k₁exp(k₂t]u₀ + α[(exp(k₂t)– exp(k₁t)]v₀ α[(exp(-k₂t)– exp(-k₁t)]u₀ + [k₂exp(-kk₁t]v₀

где k_1,2 = (i/2) [1 + (1 + 4α²) ^½];

x_-ββ (t) = X_-ββ (t) =

(λ₂ – λ₁)^{-1

[(λ₂exp(λ₁t)u^{0
+ λ₁e^λ₂t)u₀ + α(e^λ₂t – e^λ₁t)v₀

α (e^{- λ₂t} – e^{- λ₁t})u₀ + (λ₂e^{- λ₁t} – λ₁e^{- λ₂t})v₀ |

где λ_1,2 = (i/2) [1 + (1 + 4β²)^½];

В выражениях (3) – (6) через Х_α0, Х_0β, Х_αα, Х_-ββ обозначены нормированные на 1 интегральные матрицы (матрицанты) систем dx/dt = A(t; α, 0)x, dx/dt = A(t; 0, β)x, dx/dt = A(t; α, α)x и dx/dt = A(t; - β, β)x, соответственно.

2. К системе уравнений (2) общего вида неприменим ни один из известных нам критериев разрешимости линейных однородных систем: Лаппо-Данилевского [2], Ф.И.Федорова [3], Н.П.Еругина [2], Г.Ф.Федорова [4], критерий приводимости матрицы коэффициентов к треугольной форме [5] и др. [1, 6]. Поэтому представляют интерес приближенные аналитические решения. Из формулы Магнуса [7, 8]

t
X (t) ≡ X (t, 0) = T exp ∫ a(τ) dτ =
0

t
= exp { ∫ dt₁ A₁ + (1/2!) ∫ dt₂ ∫ dt₁ [A₂, A₁] +
+ (1/3!)∫ dt₃∫ dt₂ ∫dt₁{[A₃, [A₂, A₁]] + [[A₃, A₂], A₁+…]} =

= exp {P + Q + R + …},

где A_i ≡ A (t_i; α, β), находим первые последовательные приближения, справедливые в области малых t:

X_I (t) ≡ e^P = exp{iβ(1 – cost) σ₁ + iαsint σ₂} =

= cosp(t) I + isinp(t) p^-1 (t)[ β(1 – cost) σ₁ + αsint σ₂],

где

p(t) = [α²sin²t + β²(1- cost) ²]^1/2;

X_II ≡ e^{P + Q} = exp{iβ(1-cost)σ₁ + iαsint σ₂ + iαβ(sint – t) σ₃} =

= cosq(t) I + isinq(t)q^-1 (t) [β(1-cost)σ₁ + αsint σ₂ + αβ(sint –t) σ₃],

где q(t) = [α²sin²t + β²(1- cost)² + α² β²(sint –t)²)]^1/2,

и

X_III ≡ e^{P + Q + R} = exp(irσ) =
= cosr(t) I + i[sinr(t)r^-1 (t)]rσ,

где

σ = (σ1, σ2, σ3), r = (r1, r2, r3),

a

r₁ (t) = β(1- cost) + α²β[tsint + (4/3)(cost – 1) – (1/3)sin²t],
r₂ (t) = αsint + αβ²[t(1 + (4/3)cost) – (1/6)sin2t - 2sint),
r₃ (t) = αβ(sint – t).

3. Используем теорему Ляпунова (см. [2], c. 58] о линейной дифференциальной системе вида

∞
(dx/dt) = (Σ A_k (t) ε^k)x.
k=0

Для матрицанта системы

(dx/dt) = (A₀ (t) + εA₁ (t))x,

параметрически близкой к (dx/dt) = A₀ (t)x, которая имеет точное решение X₀ (t), она дает разложение

∞
X = (Σ ε^kX_k,
k=0

где X_k определяются рекуррентно:

(dX_k/dt) = A₀X_k + A₁X_k-1.

Ограничиваясь первыми членнами в разложении (7), получим:

X⁽⁰⁾ (t) = X₀ (t),

X⁽¹⁾ (t) = X⁽⁰⁾ (t) + εX₀(t) ∫ X₀^-1(t₁)A₁ (t₁)X₀ (t₁)dt₁,

X⁽²⁾ (t) = X⁽¹⁾ (t) + ε²X₀(t) ∫ X₀^-1(t₂)A₁ (t₂)X₀ (t₂) ∫ …
…∫ X₀^-1(t₁)A₁ (t₁)X₀ (t₁)dt₁dt₂.

Выберем в качестве X₀ точные решения для линейной и циркулярной поляризаций. Тогда для X⁽¹⁾ получим:

Для dx/dt = A(t; α, ε)x

X_α,ε(t) = exp[iαsint σ₂ (I + iε∫exp(-iαsint₁ σ₂ sint₁ σ₁exp(iαsint₁ σ₂ dt₁];

Для dx/dt = A(t; ε, β)x

X_ε,β (t) = exp(iβ(1 – cost) σ₁ [I + iε ∫ exp(-iβ(1 – cost) σ₁) cost₁ σ₂ exp(iβ(1 – cost) σ₁)dt₁];

Для dx/dt = A(t; α+ε, α-ε)x

X_α+ε,α-ε(t) = X_α,α[t)(I + ε∫ X_α,α^-1 (t₁)A₁⁽¹⁾(t₁)
X_α,α(t₁)dt₁];

Для dx/dt = A(t; - β+ ε, β – ε)x

X_-β+ε,β-ε (t) = X_-β,β (t)[I + ε∫ X_{- β, β}^-1 (t₁)A₁⁽²⁾(t₁)X_-β,β (t₁)dt₁].

В выражениях (10) и (11) X_α,α и X_-β,β определяются из (5) и (6), а матрицы А₁⁽¹⁾ и А₁⁽²⁾ имеют вид:

А₁⁽¹⁾

А₁⁽²⁾

0 e^-it
e^it 0

0 e^it
-e^-it 0

Соответствующие формулы могут быть записаны для старших приближений X⁽²⁾, X⁽³⁾ и т.д. для тех же случаев квазилинейных и квазициркулярных поляризаций электромагнитного поля.

Автор благодарен Ф.И.Федорову за внимание к работе, а А.В.Березину и В.И.Круглову за критические замечания.}}
Литература

1. Березин А.В., Толкачев Е.А., Федоров Ф.И. Решение уравнения Дирака в кватернионах. – Изв. ВУЗов. Физика, 1981, № 10, с 43—46.
2. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. – Мн.: АН БССР, 1963. – 272 с.
3. Федоров Ф.И. Об одном обобщении критерия Лаппо-Данилевского. – ДАН БССР, 1960, № 11, с. 454—455.
4. Федоров Г.Ф. Некоторые новые слуячаи решения систем двух линейных уравнений в конечном виде. – Вестник ЛГУ, 1953, ; 11, с. 57—65.
5. Карташов А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. – М.: Наука, 1980. – 288 с.
6. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. – М.: Наука, 1972. -- 720 с.
7. Хоберлен У., Меринг М. ЯМР высокого разрешения в твердых телах. – М.: Мир, 1980.
8. Wilcox R.M. Exponential Operators and Parameter Differentiation in Quantum Physics. – J. Math. Phys., 1967, vol. 8, № 4, pp. 962—982.
9. Тернов И.М., Багров В.Г., Клименко Ю.И. Движение и излучение электрона, обладающего вакуумным магнитным моментом, в поле плоской электромагнитной волны. – Изв. ВУЗов. Физика, 1968, № 2, с. 50—57.

По решению редколлегии журнала “ИЗВЕСТИЯ АН БССР. Сер. физ.-матем.н.” работа депонирована в ВИНИТИ (Москва), рег. № 2731-83 Деп., дата регистрации 20 мая 1983 г.
Пояснения автора в связи с доработкой рукописи статьи «Приближенные аналитические решения…»
(20 декабря 1982 г.)

Рукопись статьи была представлена в редакцию в виде 1-го варианта, содержащего названные приближенные аналитические решения вместе с доказательством равномерной сходимости разложения Ляпунова в области конечных значений параметра ε. Рецензия на этот вариант была отрицательной, поскольку рецензент нашел контрпример к общей формуле, на которой основывалось доказательство равномерной сходимости, а на приближенные аналитические решения посмотрел с точки зрения математической, не увидев в них новых результатов.

Автор убедился, что в общем виде формула, использовавшаяся при доказательстве равномерной сходимости, действительно неверна, но, проверив все выкладки, остался при своем мнении, что они правильны. В этом мнении убеждало и то, что один из математиков, кому эти выкладки были показаны, также не нашел в них ошибки.

Потому появился 2-й вариант статьи, построенный в виде краткого сообщения: разложения Магнуса и Ляпунова были убраны из текста, оставлено было лишь положение о равномерной сходимости разложения Ляпунова и его доказательство. Одновременно со 2-м вариантом был представлен «Ответ автора рецензенту», где автор пояснил, почему он включил разложения Магнуса и Ляпунова в 1-й вариант статьи.

Основные доводы были такие:
1. Представление решений в виде функции от матриц делает их легко доступными для обозрения и анализа (напр., их асимптотического поведения, нормированности и т.д.). Для сравнения: в работе [9] исследование лишь одного случая циркулярной поляризации занимает добрую половину большой статьи. Здесь стоит добавить еще и то, что компактность результатов прямо связана с рациональным выбором базиса волновых функций, в котором работали авторы [1].
2. Метод Магнуса в теории линейных дифференциальных уравнений стал известен фактически только после опубликования работы [8] в математическом журнале. В физической же литературе он появился совсем недавно, и то в довольно специальном издании [7]. Не случайно поэтому автору в свое время было предложено сделать отдельное сообщение о методе Магнуса на молодежном семинаре двух теоретических лабораторий Института физики АН БССР – ЛТФ и ЛФВЭ. Его использование оправдано тем, что он позволяет удобно анализировать поведение решения вблизи волнового фронта (малые значения фазы t = k0x0 – kx).

В рецензии на 2-й вариант статьи рецензент нашел ошибку, с которой автору пришлось согласиться, но признал справедливость доводов в пользу важности результатов, опущенных из первоначального варианта статьи. Заключение рецензента было таким: «Следует отметить, что автор весьма убедительно (с точки зрения физических приложений) обосновал важность результатов, опущенных из первоначального варианта статьи).
Рецензент не будет возражать против опубликования в разделе «Физика» именно этих результатов».

В связи с этим при составлении 3-го варианта статьи автор взял за основу 1-й вариант, исключив из него часть, относящуюся к равномерной сходимости разложения Ляпунова.

НАУКА