Institute of Intellectual Technologies  


НАУКА В ДЕЙСТВИИ


Страницы сайта:

ИМПЕРАТИВЫ ВЫЖИВАНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА:

* ПЕРВЫЙ,
* ВТОРОЙ и
* ТРЕТИЙ;

а также
*ДЕМОГРАФИЧЕСКИЙ *ПЛАНЕТАРНАЯ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ;
* ДИАЛОГ О ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ ЦИВИЛИЗАЦИИ;
* ПРОЕКТЫ;
* НАУКА В ДЕЙСТВИИ;
* ПЕДАГОГИКА;
* HOMO SAPIENS;
* ОБЩЕСТВО;
* ЗДОРОВЬЕ;
* ФИЛОСОФИЯ С ТОЛЕРАНТНОСТЬЮ;
* ТРЕТЬЯКОВСКАЯ ГАЛЕРЕЯ ИДЕЙ,
вместе с...
* ЕЕ ЗАПАСНИКАМИ;
* УЧЕНЫЕ ДОСУГИ;
* ИНТЕРВЬЮ
* ДИАЛОГИ
*
ИНТЕЛТЕХ ПРЕДСТАВЛЯЕТ
* МИЛЛЕРИАНА
* ПРИВАТНАЯ СТРАНИЧКА
* ИНТЕРНЕТ-БЮЛЛЕТЕНЬ МАИТ
* ИНФОРМАЦИЯ ИНТЕЛТЕХА


+Коллекции статей на сервере СО РАН:

+Рекомендации Природы в социологии
+Императивы выживания
+Философские проблемы математики
+Экономика под знаком интеллекта

Наиболее значащие материалы сайта:

Криминальный диагноз: узкоумие
Две креативности, а такие разные
Панорамное мышление как понятие
Дефицит панорамного мышления в вопросах и ответах
Охота за дефицитом. По звериным следам, оставленным в мозгу человека
Социальная инициатива -- общедоступный инфобанк лексических обогащений
Секрет юмора из глубин эволюции
Создание системы цивилизационной безопасности в 3-м тысячелетии
Институциональная и стратегическая несостоятельность интеллигенции в цивилизационном процессе
Соавторствуя с Вольтером
Рекомендации Природы международным институциям
Все человечество может оказаться в дураках
Принцип толерантности и концепция противодействия старению
Педагогика наивысшей эффективности
Чтобы умственная пища хорошо переваривалась, она должна поглощаться с аппетитом
Учебно-творческий центр раскрытия одаренности
Советы осененному идеей
Советы начинающему эксперту
Инструмент мысли нуждается в заточке
Не исключено, что вы -- аквиник
Обсуждение общебиологического принципа толерантности
Обобщенный принцип толерантности
Псевдоконгруэнции на универсальных алгебрах
О творчестве по-новому
Упущения цивилизации, как их выискивать и восполнять

 

 


Псевдоконгруэнции
на
универсальных алгебрах


В.Н.Третьяков

Работа опубликована по решению редколлегии
журнала "Известия АН БССР.
Серия физико-математических наук"
как рукопись, депонированная в ВИНИТИ
(Москва, 1983).


I. Введение

I.1. Упорядоченная пара [M, T] называется толерантным пространством [2, 10], если T - отношение толерантности на М, т.е. рефлексивное и симметричное бинарное отношение. Алгебра {A, F} называется K-толерантной алгебраической структурой [4], если K - толерантность на А и для любой n-арной операции f € F и любых 2n элементов xi, yi € A, i = 1, 2, …, n, таких, что xi K yi, выполняется (x1, …, xn)f K (y1, …, yn)f. Множество L € M называется предклассом толерантности T в толерантном пространстве [M, T] [2], если для любых х, y € L выполняется xTy. Если К € М - максимальный предкласс, то он называется классом толерантности [2]. Граф G(A, T) называется толерантным графом [3], если А является его множеством вершин, а две вершины x и y из А соединены ребром тогда и только тогда, когда x T y.

I.2. При анализе этих и других математических понятий, связанных с множеством, можно заметить, что они строятся в предположении об абсолютной индивидуации (разрешимости) его элементов: для любых x и y всегда известно, x = y или x ? y. Другими словами, множество М отождествляется со своим фактор-множеством по равенству: М ? М/= . Но равенство - это идеализированный случай отношения толерантности, имеющего произвольно высокую степень толерантного замыкания: x (=)n y влечет x = y для любого n € Z+. В силу неограниченности n свойство транзитивности является идеализацией: оно может лишь постулироваться, но принципиально непроверяемо. (Практическая невозможность проверки транзитивности связана также с тем, что перцептивное и экспериментальное "равенства" - тоже отношения толерантности). Отказ от этой идеализации означает замену отношения равенства на множестве отношением толерантности. Поскольку толерантностям, в отличие от эквивалентностей, не соответствуют правильные разбиения, то совокупности различимых по толерантности T (или T-различимых) элементов имеют не вполне определенный элементный состав.

Пусть MT1, MT2, …, MTk, … -- ряд совокупностей Ti-различимых элементов "реальной" совокупности М, где толерантности Ti можно связать, например, с разрешающей способностью приборов. Наше предположение (гипотеза врожденной толерантности) состоит в том, что точность индивидуации имеет пределом не абсолютную точность равенства, а неабсолютную точность некоторого отношения толерантности t (назовем ее врожденной), являющейся характеристикой совокупности М и определяющей (хотя и не вполне) ее элементный состав. Таким образом, любое пересечение толерантностей Ti включает t. В настоящей работе рассматриваются алгебраические системы, главными предикатами которых являются отношения толерантности, а носителями - совокупности t-различимых элементов.

I.3. Конкретизируем сказанное выше.
А. В духе идей П.К.Рашевского [1] можно предположить существование врожденной толерантности t0 на числовой прямой, такой, что при достаточно больших N выполняется N t0 (N + n), причем n возрастает с ростом N. Назовем ординальной совокупность Nt0+ t0-различимых натуральных чисел, определяемую числом N1:

N1 t0 (N1 + 1) и неверно, что N1 t0 (N1 - 1).

По определению, совокупность N t0+ состоит из элементов 1, 2, …, N1 - 1. Совокупность Qt0 t0-различимых вещественных чисел можно считать порожденной отношением толерантности t0 на совокупности натуральных чисел (см. [1]).
Б. Если принять предположение о существовании фундаментальной длины L, характеризующей физическое пространство S, то S можно рассматривать как толерантное пространство [S, tL], с пространственной толерантностью tL, заданной в виде:

a tL b -> неверно, что d (a, b) > L

(здесь d (a, b) - расстояние между точками a и b). При этом возникает дискретно-геометрический объект - совокупность tL-различимых "точек" пространства.
Отметим, что определение tL в духе классической толерантности (см. [13])

a tL b -> d (a, b) < L

было бы некорректным, поскольку оно входило бы в противоречие с принципиальной ненаблюдаемостью (неразличимостью) расстояний, меньших чем L.

II. Т-толерантные алгебры, или TR-модели

II.1. Процедура выделения t-различимых элементов из "реальной" совокупности А принципиально неоднозначна: она порождает совокупности At(1), At(2), …, элементы которых можно представить на склеенных листах многолистной поверхности, причем каждый лист соответствует какой-то одной возможности выделения. Обозначим через A(t) объединение Uk At(k), допускающее возможность "отклеивания" листов (объединение с "памятью"; ср. с [1]). При этом элементы A(t) будут определяться "с точностью до толерантности t".

II.2. Определение. Будем называть T-моделью совокупность M(t) с заданным на ней отношением толерантности T (обозначение: [M(t), T]), таким, что x T y и y t z влечет x T z для x, y, z € M(t).

II.3. Определение. Алгебраическая система {A(t), R, T} на носителе M(t) с совокупностями главных операций R ~ {rk: k € I} и главных предикатов Т ~ {Tj: j € J} называется Т-толерантной алгеброй, или TR-моделью, если
1) алгебра {A(t), R} t-замкнута, т.е. для любой nk-арной операции rk € R и любых x1, …, xnk € A(t) существует элемент y € A(t) такой, что (x1, …, xnk)rk t y (свойство t-замкнутости);
2) отношения Tj € T -- толерантности на любой At(k);
3) операции rk и толерантности Tj (k € I, j € J ) согласованы (или совместимы; см. [4]) на A(t), т.е. для любых 2nk элементов x1, …, xnk, y1, …, ynk € A(t) таких, что x1 Tj y1, …, xnk Tj ynk, выполняется
(x1, …, xnk) rk Tj (y1, …, ynk) rk
(свойство согласованности Т с R).

Т-толерантную алгебру назовем t-локальной, если истинность любого утверждения Р относительрно этой алгебры не изменится при замене любого x € A(t) на элемент y € A(t) такой, что x t y, т.е.

P(… x …) - P(… y …)

(свойство t-локальности).

II.4. Теорема. Пусть {A(t), R, T} -- t-локальная толерантная алгебра. Тогда:
а) {A(t), R, T} -- t-несвязна (т.е. для любых x, y € A(t) ни при каких n не выполняется x tn y, если неверно x t y);
б) порядок {A(t), R, T} дефинитно-конечен (т.е. |A(t)| € N t0+);
в) толерантное пространство [A(t), T] образует T-модель;
г) толерантность t согласована с алгеброй {A(t), R}.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что для каких-то x, y € A(t) выполняется x tn y. Тогда, применяя к носителю A(t) алгебры n - 1 раз свойство t-локальности, из последнего соотношения получим x t y, в противоречии с предположением, что x, y € A(t).
Тем же способом докажем б). Предположим, что неверно |A(t)| € Nt0+. Это означало бы, что для каких-то At(1), At(2) € A(t) выполняется |At(1)| t0 N и |At(2)| t0 (N+1) (см. п. I.3а), т.е. что по крайней мере 2 элемента x, y € A(t), t-различимые в At(2), t -связны или t-неразличимы в At(1). Первая возможность противоречит свойству а), вторая - определению At.
Свойство в) следует непосредственно из t-локальности толерантной алгебры {A(t), R, T} применительно к толерантному пространству [A(t), T].
Свойство г) можно доказать, используя свойства t-замкнутости и t-локальности. Действительно, если x1, …, xnk, y1, …, ynk € A(t) и x1 t y1, …, xnk t ynk, то, в силу t-замкнутости, (x1, …, xnk)rk t z, (y1, …, ynk)rk t z', а в силу t-локальности z t z' и (x1, …, xnk)rk t (y1, …, ynk)rk.

II.5. Теорема. Совокупность Г t-локальных толерантных алгебр вкладывается в совокупность D толерантных алгебраических структур из [4].

Доказательство. Пусть {A(t), R, T} € Г - одна из t-локальных толерантных алгебр порядка |A(t)|. Определим взаимно-однозначное отображение Ф следующим образом:

Ф: {A(t), rk, Tj, t, ¬t) > {B, fk, Kj, =, не=}, т.е.

A(t) > (x1Ф, …, xnkФ)fk, x Tj y > xФ Kj yФ; x t y > xФ = yФ; x ¬t y -> xФ не= yФ (k € I, j € J).
Тогда алгебры
{A(t), R, T} и {B, (fk: k € I), (Kj: j € J)} изоморфны. Пусть { Ф } - совокупность всевозможных изоморфизмов таких алгебр. Очевидно, что { Ф } осуществляет вложение Г в ?, поскольку из-за ограничения |B| € Nt0+ не всякая толерантная алгебраическая структура из ? имеет изоморфный аналог в классе Г.

Замечание. Теоремы о толерантностях, согласованных (совместимых) со структурами пролугруппы, группы, кольца и решетки, а также теоремы об абстрактных алгебраических структурах, доказанные в [4-9], могут быть с соответствующими изменениями сформулированы и доказаны для t-локальных толерантных алгебр.

II.6. Предложение. Пусть [A(t), T] - T-модель, а {A(t), R} -- алгебра, у которой любая операция rk € R осуществляет отображение A(t) в предкласс B(t) толерантности T. Тогда {A(t), R, T} -- T-толерантная алгебра.

Доказательство. По предположению, rk: A(t)nk > B(t), где B(t) € A(t) -- предкласс толерантности T. Так как [A(t), T] - T-модель, то это означает, что для любых xi, yi € A(t) и любой rk € R выполняется (x1, …, xnk)rk T (y1, …, ynk)rk.
В частности, имеем:
x1 T y1,…, xnk T ynk > (x1, …, xnk)rk (y1, …, ynk)rk.

II.7. Определение (ср. с [10] и [12]). Отображение

F: [A(t), T]n > (B(t), т)

называется толерантным отображением, если оно является отображением из A(t) в B(t) (т.е. для любых x1, …, xn € A(t) существует b € B(t), что (x1, …, xn)f t b) и для любых xi, yi € A(t), таких, что x1 T y1, …, xn T yn, выполняется (x1, …, xn)f т (y1, …, yn)f.

II.8. Предложение (обобщает утверждение II.6). Пусть

Фk: [A(t), T] nk > B(t)(k), тk], k € I, --

толерантные отображения модели [A(t), T] в модели [B(t)(k), тk], k € I. Если B(t)(k) € A(t) и на любом B(t)(k), k € I, T € тk, то алгебраическая система {A(t), (Фk: k € I), T} образует T-толерантную алгебру.

Доказательство. В силу определения II.6 x1 T y1, …, xnk T ynk > (x1, …, xnkk тk (y1, …, ynkk, где x1, …, xnk, y1, …, ynk € A(t). Поскольку тk € T на B(t) (k), то (x1, …, xnkk тk (y1, …, ynkk > (x1, …, xnkk T (y1, …, ynkk, и согласованность T с тk доказана. Другие свойства толерантной алгебры (см. II.3) очевидны.

III. Свойства псевдоконгруэнции

III.1. Другое название отношения толерантности - псевдоэквивалентность [11]. Поэтому согласованное с алгеброй V ? {A(t), R} отношение толерантности естественно назвать псевдоконгруэнцией.

III.2. Для t-локальных толерантных алгебр (так же как и для Kj-толерантных алгебраических структур [4]) полное отношение толерантности U является псевдоконгруэнцией. Однако условие t-локальности может быть заменено более слабым.

Предложение. Пусть [A(t), U] - U-модель, где U - полное отношение. Тогда U - псевдоконгруэнция (являющаяся конгруэнцией) на любой алгебре [A(t), R}.

Доказательство аналогично доказательству предложения II.6.

III.3. Теорема. Пусть T - псевдоконгруэнция на t-локальной алгебре V. Тогда:
а) кратная к T толерантность Tn - псевдоконгруэнция на V;
б) транзитивное замыкание Z толерантности T на V - псевдоконгруэнция на V (являюшаяся конгруэнцией).

Доказательство. А) Пусть V ? {A(t), R}, R ? (rk: k € I)}, -- алгебра, с которой согласована толерантность T. Поскольку xi Tn yi означает, что существуют z1(i), …, zn-1(i) € A(t) такие, что

x1T z1(i)& z1(i) T z2(i) &…& z2 (i) T yi,

то, полагая x1 Tn y1 & y1 Tn y2 & … & xnk Tn ynk и меняя порядок членов конъюнкции, получим (с учетом t-локальности):

(x1, …, xnk) T (z1 T(1),…, z1 (nk))rk & (z1 (1),…, z1 (nk))rk T (z2 (i),…, z2 (nk))rk &…&(zn-1(i),…, zn-1 (nk))rk T (y1, …, ynk)rk,

т.е. для любых x1, …, xnk, y1, …, ynk € A(t) таких, что x1 T n y1&…& xnk Tn ynk, выполняется (x1, …, xnk)rk Tn (y1, …, ynk)rk.
б). Поскольку алгебра V t-локальна, то ее порядок, а значит, и минимальная степень m транзитивного замыкания Z толерантности T конечны: |At|, m € Nt0+, т.е. для .x, y € A(t) xty равносильно xTmy. По доказанному в п. А), t - псевдоконгруэнция, являющаяся конгруэнцией в силу III.2.

III.4. Определения. Пусть A(t) - носитель t-локальной толерантной алгебы {A(t), R, T}, R ~ (rk: k€ I). Толерантным графом GT (A(t)) T-модели [A(t), T] естественно считать такой неориентированный псевдограф, в котором любые две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда они связан отношением толерантности T, и петлей, когда они t-неразличимы. Пусть T(n), t(n) - отношения толерантности, индуцируемые толерантностями T и t на декартовых степенях n совокупности A(t) (ср. с [13]). Кортеж (x1, …, xn) € A(t)n будем называть T-маршрутом, если x1 T x2, x2 T x3, …, xn-1 T xn, замкнутым T-маршрутом, если к тому же x1 t xn, и удлиненным T-маршрутом (по отношению к (x1, …, xm), xm+1 t xm, …, xn t xm. (Здесь и далее мы используем для t-неразличимых элементов один и тот же буквенный символ). Под r-композицией T-маршрутов максимальной длины n (т.е. среди них могут быть удлиненные) будем понимать операцию r над соответствующими элементами кортежей.

III.5. Лемма. Пусть T - псевдоконгруэнция t-локальной алгебры { A(t), R, T}, а GT (A(t)) - толерантный граф ее T-модели. Тогда любая rk-композиция T-маршрутов (замкнутых T-маршрутов) максимальной длины n порождает T-маршрут (замкнутых T-маршрут) максимальной длины n.

Доказательство первой части утверждения производится непосредственно при использовании условия согласованности T с {A(t), R}. Для доказательства замкнутости rk-композиций на замкнутых T-маршрутах дополнительно используется условие согласованности t с алгеброй {A(t), R}.

III.6. Теорема. Пусть выполнены условия леммы. Если к тому же совокупность Rn T-маршрутов максимальной длины n дефинитно-конечна, то
а) T(n) - псевдоконгруэнция на алгебрах {Rn, C(R)} и {R*n,C*(R)}, где C(R) и C*(R) -- rk-композиции T-маршрутов из Rn и замкнутых T-маршрутов из R*n максимальной длины n;
б) толерантные алгебры {Rn, C(R),T(n)} t-локальны.

Доказательство. а) Свойство согласованности T(n) с rk-композициями следует непосредственно из определения С(R) при учете леммы и согласованности T с {A(t), R}. Оно не зависит от выполнимости условий замкнутости T-маршрутов, и потому справедливо для замкнутых маршрутов тоже.
б). Свойство t-локальной толерантной алгебры - дефинитная конечность совокупности Rn (т.е. и совокупности R*n) - выполняется по условию теоремы. Согласованность t(n) с С(rk) может быть доказана аналогично доказательству п. а). Положение, что толерантные пространства [Rn, T(n)] и [R*n, T(n)] являются T(n) -моделями, следует из того, что [A(t), T(n)] -- T-модель.

III.7. Следствия. 1. Для псевдоконгруэнций T(n) верны все свойства псевдоконгруэнций t-локальной толерантной алгебры.
2. Для T-маршрутов максимальной длины 0 алгебра {A(t), C(R), T(n)} вырождается в алгебру {A(n), R, T}.
3. Алгебры {R*n, C*(R), T(n)} и {Rn-p, C(R), T(n)}, p < n, являются подалгебрами алгебры {Rn, C(R), T(n)}.

Автор признателен акад. АН БССР Д.А.Супруненко и участникам руководимого им алгебраического семинара, особенно И.Б.Воличенко и Н.М.Корниенко, за критические замечания и ценные советы. (Прим. 1983 г.)

Литература

1. Рашевский П.К. О догмате натурального ряда. - УМН, 1973, т. 28 (4), с. 243-246.
2. Шнейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. - М.: Наука, 1971. - 254 с.
3. Zelinka B. Tolerance graphs. - Comm. Math. Univ. Carol., 1968, vol. 9 (1), p. 121-131.
4. Zelinka B. Tolerance in algebraic structures. - Czech. Math. J., 1970, vol. 20 (2), p. 179-183.
5. Zelinka B. Tolerance in algebraic structures-II. - L.c., 1975, vol. 25 (2)< 175-178.
6. Chajda I., Zelinka B. Tolerance relation on lattices. - Cas. Pest. Mat., 1974, sv. 99 (4), 394-399.
7. Chajda I., Zelinka B. Compatible relations on algebras. L.c., 1975, sv. 100 (4), 355-360.
8. Chajda I. A construction of tolerances on modular lattices. - Cas. Pest. Mat., 1976, sv. 101 (2), 195-198.
9. Chajda I., Zelinka B. Weakly associative lattices and tolerance relation. -- Czech. Math. J., 1976, vol. 26 (2), p. 259-269.
10. Зиман Э., Бьюнеман О. Толерантные пространства и мозг. - В кн.: На пути к теоретической биологии. - М., Мир, 1970, с. 134-144.
11. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. -- 392 с.
12. Drbohlav K. Remarks on tolerance algebras. Acta Univ. Carol., Math. & Phys., 1981, vol. 22 (1), p. 11-16.
13. Chajda I. Systems… -- Czech. Math. J., 1975, vol. 25 (2), 302-308.

Аннотация статьи помещена в журнале "Весцi АН БССР. Серыя фiзiка-матэматычная", 1983, № 3; полный текст : Москва: ВИНИТИ,1983, ДЕП № 1357-83. Автор благодарен проф. В.Н.Маслову, инициировавшему размещение этой работы на сайте. (Прим. 7.07.2005).

P.S. 1.06.2007. Запоздалая благодарность -- ему же -- за предложение установить связь между принципом толерантности и механизмом старения "по Маслову"

 

 

   
(C) Copyright «ИнтелТех»—В.Н.Третьяков. Настоящая информация является интеллектуальной собственностью автора сайта, которому было бы интересно знать о любом использовании его материалов. Vlad-Tretyakov@yandex.ru

Hosted by uCoz