Врожденная толерантность имеет онтологическое обоснование
8.10.2005

Аннотация

Математическим выражением гипотезы о врожденной толерантности (внутренней неопределенности) как общем свойстве физических систем является представление о числовой оси с числами-пятнами вместо чисел-точек. Это представление может быть выведено как следствие из надежного методологического принципа науки – принципа «бритвы Оккама»: essentialia non sunt multiplicanda praeter necessitatem (т.е.: понятия нельзя вводить произвольно, без достаточного на то основания). Т.о., принцип врожденной толерантности имеет основания считаться научным положением, а не гипотезой.

Современная математика перебралась за онтологический барьер

Не подлежит сомнению, что идеальные объекты математики, во всякому случае т.наз. аппаратной ее части, должны по возможности полно учитывать главные закономерности реального мира – с тем, чтобы их «приложение» к объектам (и субъектам --если иметь в виду познание человеком себя) этого мира было эффективным.

Удивительно, что математики и логики, изучавшие и опровергавшие парадоксы в основаниях математики с точки зрения их внутренней противоречивости, прошли мимо этого «внешнего» аргумента для их опровержения.
Вот несколько примеров нарушения принципа Оккама в математике, которому в современной системе образности больше подходило бы название принцип онтологического барьера (ПОБ).

В математике неявно принимается, что из существования любого множества А, в т.ч. и бесконечного, всегда следует существование множества всех подмножеств множества А, т.е. булеана 2^A, а из существования множеств А и В -- существование произведения множеств А х В. ПОБ при этом игнорируется. В самом деле, для того, чтобы сформировать 2^A так же, как было сформировано А, нужно иметь дополнительно (2^|A| - |A|) элементов множества А, а чтобы обеспечить существование фактор-множества А х В, нужно располагать дополнительно (|А|x|В| - |А| - |В|)) элементами множеств А и В. В обоих случаях существование их математиками «домысливается».

Особого рассмотрения с точки зрения ПОБ заслуживает случай бесконечного множества А. Представим его в виде последовательности элементов. Эта последовательность бесконечна, т.е. множество А как бы постоянно и без конца пополняется. Т.е. А в следующий момент времени уже не есть то же, что А в момент предществующий. Значит, считая бесконечное множество А самотождественным себе, математики нарушают диалектический закон тождества, по которому А не есть не-А.

Замечание ad hoc. Бесконечное множество, актуальная бесконечность, потенциальная бесконечность – это естественная реакция конечного мозга человека на очень большое, необъятное, несчетное. Лет 150 назад на Земле были племена, где счет был таким: раз, два, три, много. Все, что больше трех, считалось «много». У современного человека, располагающего компьютерной техникой, в расчетах могут фигурировать десятки тысяч в показателях степени при основании 10 (при поисках наибольшего простого числа), но дальше все равно «много», называемое бесконечностью.

С толкованием «реакция на очень большое» согласуется то, что совсем не обязательно представлять себе бесконечное множество, если речь идет о свойстве «быть несчетным». Вот несколько очевидных примеров несчетных (поэлементно однозначно не пересчитываемых) объектов: множество всех круглых предметов, множество лиц женского (мужского пола), множесто всех детей, множество 20-летних юношей, множество всех деревьев в конкретном лесу, множество всех атомов во Вселенной. Т.е. математика реального мира должна быть индефинитно-финитной, т.е. допускать существование неопределенно-больших чисел.

Итак, математика в связи с понятием существования математических объектов не может по-прежнему игнорировать уровни существования – онтостатусы (ОС). Приведу еще довод в защиту этого тезиса. Априори ОС элемента х множества А явно выше, чем ОС отношений (х, у) или (х, у, z), где х, у, z € А. В самом деле, отношение между элементами – это в большей степени то, что привносится самим исследователем, выделяется, оценивается им, не говоря уже о том, что для полной онтологической «обеспеченности» n-арного отношения на множестве А требуется n копий множества А. Т.е. логика построения здания математики, в большей степени соответствующей реальности, требует понятий онтологизуемых и неонтологизуемых математических объектов, возможно, выделения даже более чем двух уровней онтологизуемости.

Использование ПОБ освободило бы математику не только от лишних сущностей, но не позволило бы даже появиться парадоксу Рассела о множестве всех множеств, являющихся собственными элементами, и парадоксу Кантора о множестве всех подмножеств, парадоксу Бурали-Форти о наибольшем ординале.

Из ПОБ следует существование ВТ. И обратно.

Отношение толерантности (т.е. «равенства с допуском» или «равенства без транзитивности») имело бы право занять в математике центральное место, даже если бы не было проблемы загадочной неэффективности математики в науках о живом, поскольку его введение означало бы отказ от неоправданных идеализаций -- актуальной бесконечности, предела бесконечной последовательности, точного числа и чисел-точек. Увы, о каком-то повышенном интересе математиков к толерантности можно было говорить лишь в 1960—70-х гг.

Чтобы этому требованию больше соответствовать, следовало бы начать сооружение здания новой математики с учетом обобщенного принципа толерантности (ОПТ), который можно сформулировать так: природа – живая и неживая – толерантна к различиям.

Для объектов и систем неживой природы ОПТ может быть сформулирован так: состояние и поведение любой физической системы определяется не «точными», а не вполне определенными («размазанными») величинами. Т.е. всякая физическая система имеет внутреннюю неопределенность, или врожденную толерантность (ВТ).

Обратим внимание, что отношение толерантности уже присутствует – неявно! -- в самих основах математики. В самом деле, только благодаря тому, что органы распознавания познающего субъекта – человека -- имеют некий интервал отождествления, т.е. обладают толерантностью к различиям, могли появиться понятие множества, процедура счета «одинаковых» элементов и натуральные числа – на уровне обобщения понятия равномощности классов. Другое неявное использование ВТ: всякая запись чисел с конечным числом цифр после запятой означает, что существует интервал отождествления, сравнимый с единицей последнего разряда.

Можно предполагать, что и явное включение толерантности в основные понятия математики не будет ей противопоказано.

Приведем доводы в пользу введения ВТ в науки о неживой природе:

1) экспериментальное и перцептивное равенства являются отношениями толерантности;
2) вклад в ВТ-допуск любой физической величины априори вносит квантовомеханическая неопределенность;
3) … а также неопределенность, вызываемая переменным воздействием на изучаемую физическую систему (объект) всего остального внешнего мира, которое в принципе не может быть учтено;
4) Всякая физическая система может рассматриваться как прибор без индикации ее состояния; всякий же прибор характеризуется чувствительностью, т.е. интервалом ВТ, в пределах которого изменение внешних воздействий не изменяет его показаний.

Таким образом, для отказа от излишней (вообще говоря, не оправданной) идеализации -- отношения равенства -- в пользу «равенства с допуском», т.е. отношения ВТ, имеются веские основания. Числовая система с врожденной толерантностью i характеризовалась бы тогда неким неопределенно-конечным числом N, для которого неверно N i(N – 1), но верно N i(N + 1). В такой числовой системе, естественно, нет места парадоксу Бурали-Форти о наибольшем порядковом числе.

По существующим представлениям, статические и динамические параметры физических систем являются точными («точечными») числами в соответствии с тем, что законы, ответственные за поведение и состояние физических систем, представляют собой функциональные зависимости вида

M = F (A, B, ...),

т.е. поточечные отображения

F: A x B x ... --> M,

где М – основная измеряемая величина, А, В, ... – другие измеряемые величины.

Физический закон, в котором связаны воедино не только сами физические величины А, В, …, М, но и их численные меры неопределенности -- iA, iB, …, iM, -- примет тогда форму обобщенного толерантного отображения

F: (A, iA) x (B, iB) x ... --> (M, iM).

Это означает, что законы, описывающие поведение физических систем, связывают не только значения самих параметров этих систем, но и их численные меры неопределенности. Такое, приближенное к действительности понимание физических законов, откроет перед экспериментальной и теоретической физикой принципиально новые возможности поиска и обнаружения новых физических результатов.
При этом наряду с ВТ физикам-теоретикам при анализе придется иметь дело и с внешней толерантностью, определяемой точностью («допусками») экспериментально измеряемых величин. См. в связи с этим статью о толерантных алгебрах на нетрадиционном носителе (элементы которого задаются с точностью до некоторой ВТ i).

Можно обозначить некоторые новые области поиска: «нуль-эффекты» ВТ, выяснение следствий элиминации бесконечности из физических теорий; эффекты «мягких» и «жестких» ВТ; эффекты рассогласования толерантностей; статистические эффекты ВТ (учет неопределенностей в самих параметрах распределения).

Обратное утверждение -- что из признания существовании врожденной толерантности следует необходимость введения некоего принципа онтологического барьера -- довольно очевидно. В самом деле, учтем, что отношение толерантности вообще не дает правильных разбиений. Это значит, что совокупность i_A-различимых значений любой физической величины A имеет не вполне определеный элементный состав. И ее онтостатус , естественно, должен быть ниже, чем, например, множества натуральных чисел в интервале [0, 1000].